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que depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ Les autres parties des intégrales sont nulles, d’après l’hypothèse. Ou obtiendra d’abord l’équation qui donne le développement de la fonction proposée, dont la valeur est $1,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ et nulle depuis $x=\pi$ jusqu’à $x=2\pi :$

$1={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{\pi }}\left(\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+{\text{etc}}.\right)$

Cette équation se réduit à celle-ci,

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+etc.,$

à laquelle nous sommes parvenus précédemment, par un procédé très-différent.

Si maintenant on substitue dans l’équation générale les valeurs qu’on vient de trouver pour les coëfficients constants, on aura l’équation,

${\frac {1}{2}}\pi z=e^{-ht}\left({\frac {1}{4}}\pi +\sin .x.e^{-\mathrm {K} t}+{\frac {1}{3}}\sin .3x.e^{-3.3\mathrm {K} t}+{\frac {1}{5}}\sin .5x.e^{-5.5\mathrm {K} t}+{\text{etc}}.\right).$

qui exprime la loi suivant laquelle varie la température de chaque point de l’anneau, et fait connaître son état après un temps donné. Nous nous bornerons aux deux applications précédentes, et nous terminerons cet article par quelques observations sur la solution générale exprimée par l’équation $(\mathrm {E} ),$.