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les valeurs de $h,h',h'',\ldots ,$ sont réelles négatives, et fournies par les équations

${\begin{aligned}h\;&=-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .\left(0{\frac {\pi }{n}}\right),\\h'\ &=-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .\left(1{\frac {\pi }{n}}\right),\\h''&=-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .\left(2{\frac {\pi }{n}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\h^{(n-1)}&=-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .\left({\overline {n-1}}{\frac {\pi }{n}}\right).\end{aligned}}$

Supposons donc qu’on ait divisé la demi-circonférence $\pi$ en un nombre $n$ de parties égales, et que l’on prenne pour former l’arc $u$ un nombre entier $i$ de ces parties, $i$ étant moindre que $n,$ on satisfera aux équations différentielles $(e)$ en choisissant pour $a_{1}$ une quantité quelconque, et faisant

${\begin{aligned}&\alpha =a_{1}{\frac {\sin .\ \ u-\sin .0u}{\sin .u}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u}\\&\beta =a_{1}{\frac {\sin .2u-\sin .\ \ u}{\sin .u}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u}\\&\gamma =a_{1}{\frac {\sin .3u-\sin .2u}{\sin .u}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

$\omega =a_{1}{\frac {\sin .nu-\sin .(n-1)u}{\sin .u}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u}.$

Comme il y a un nombre $n$ d’arcs différents que l’on peut prendre pour $u,$ savoir, $0{\frac {\pi }{n}},\,1{\frac {\pi }{n}},\,2{\frac {\pi }{n}},\ldots \,(n-1){\frac {\pi }{n}},$ il y a aussi un nombre $n$ de systèmes de valeurs particulières