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C’est pourquoi si les masses $m,\,m,\,m,\ldots$ qui sont placées à distances égales sur la circonférence du cercle, avaient dès températures initiales proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur le diamètre qui passe par le premier point, les températures varieraient avec le temps, en demeurant proportionnelles à ces perpendiculaires ; et ces températures diminueraient toutes à-la-fois comme les termes d’une même progression géométrique, dont la raison est la fraction

$e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .2{\frac {\pi }{n}}}.$

Pour former la solution générale, on remarquera, en premier lieu, que l’on pourrait prendre pour $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots b_{n}$ les $n$ cosinus correspondants aux points de division de la circonférence, partagée en un nombre $n$ de parties égales. Ces quantités

$\cos .0u,\quad \cos .1u,\quad \cos .2u,\ldots \cos .(n-1)u,$

où $u$ désigne l’arc $2{\frac {\pi }{n}},$ forment aussi une série récurrente, dont l’échelle de relation a les deux termes $2\cos .u$ et $-1.$ C’est pourquoi lon pourrait prendre, pour satisfaire aux équations différentielles, les équations suivantes :

${\begin{aligned}(f)\qquad \qquad \qquad \qquad &\alpha _{1}=\cos .0u.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u},\\&\alpha _{2}=\cos .1u.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u},\\&\alpha _{3}=\cos .2u.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$