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$\alpha _{n}=\cos .(n-1)u.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u}.$

Indépendamment des deux solutions précédentes, on pourrait choisir, pour les valeurs de $b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\ldots b_{n},$ les $n$ quantités

$\sin .0.2u,\quad \sin .1.2u,\quad \sin .2.2u,\ldots \sin .(n-1)2u\,;$

ou celles-ci :

$\cos .0.2u,\quad \cos .1.2u,\quad \cos .2.2u,\ldots \cos .(n-1)2u.$

En effet, chacune de ces séries est récurrente, et formée de $n$ termes. L’échelle de relation a les deux termes $2\cos .2u$ et $-1;$ et si l’on continuait la série au-delà de $n$ termes, on en trouverait $n$ autres, qui seraient respectivement égaux aux $n$ précédents. En général, si on désigne par $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots u_{i},\ldots u_{n}$ les arcs

$0.2{\frac {\pi }{n}},\quad 1.2{\frac {\pi }{n}},\quad 2.2{\frac {\pi }{n}},\quad 3.2{\frac {\pi }{n}},\ldots (i-1)2{\frac {\pi }{n}},\ldots (n-1)2{\frac {\pi }{n}},$

on pourra prendre pour les valeurs de $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots b_{n}$ les $n$ quantités

$\sin .0.u_{i},\quad \sin .1.u_{i},\quad \sin .2.u_{i},\quad \sin .3.u_{i},\ldots \sin .(n-1)u_{i}\,;$

ou celles-ci :

$\cos .0.u_{i},\quad \cos .1.u_{i},\quad \cos .2.u_{i},\quad \cos .3.u_{i},\ldots \cos .(n-1)u_{i}\,;$

et la valeur de $h$ correspondante à chacune de ces séries est donnée par l’équation

$h=-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .u_{i}.$