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46. Nous appliquerons maintenant la solution générale au cas où la sphère ayant été long-temps plongée dans un liquide, a acquis dans tous ses points une même température. Dans ce cas la fonction $\operatorname {F} x$ est $1,$ et la détermination des coëfficients se réduit à intégrer

$x\sin .nx.dx,$

depuis $x=0,$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ Cette intégrale est

${\frac {\sin .n\mathrm {X} -n\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} }{n^{2}}}\,;$

donc la valeur d’un coëfficient quelconque est exprimée ainsi :

$a=2\left\{{\frac {1-{\cfrac {n\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} }{\sin .n\mathrm {X} }}}{\left({\cfrac {n\mathrm {X} }{\sin .n\mathrm {X} }}-\cos .n\mathrm {X} \right)n}}\right\}.$

L’équation qui donne la valeur de $n$ est

${\frac {n\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} }{\sin .n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .$

On trouvera donc

$a={\frac {2h\mathrm {X} }{n\left(n\mathrm {X} \operatorname {\text{coséc}} .n\mathrm {X} -\cos .n\mathrm {X} \right)}}.$

Il est aisé maintenant de former la valeur générale de $z,$ qui est

${\frac {zx}{2h\mathrm {X} }}={\frac {\sin .n_{1}x}{n_{1}\left(n_{1}\mathrm {X} \operatorname {\text{coséc}} .n_{1}\mathrm {X} -\cos .n_{1}\mathrm {X} \right)}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}$

$+{\frac {\sin .n_{2}x}{n_{2}\left(n_{2}\mathrm {X} \operatorname {\text{coséc}} .n_{2}\mathrm {X} -\cos .n_{2}\mathrm {X} \right)}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\text{etc}}.$

En désignant par $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\varepsilon _{4},$ etc. les racines de l’équation

${\frac {\varepsilon }{\operatorname {tang} .\varepsilon }}=1-h\mathrm {X} ,$