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fonction de $x$ et du temps $t,$ cette fonction cherchée $z$ doit satisfaire à l’équation aux différences partielles

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {dz}{dx}}\right].$

On peut prendre pour $z$ la valeur suivante :

$z=e^{-mt}.u.$

$u$ est une fonction de $x$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.$

Si l’on fait $\theta ={\frac {m}{\mathrm {K} }}{\frac {x^{2}}{2^{2}}},$ on aura

$u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0.$

La valeur suivante

$u=1-{\frac {\theta }{1^{2}}}+{\frac {\theta ^{2}}{1^{2}.2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{1^{2}.2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\text{etc}}.,$

satisfait à l’équation en $u$ et $\theta \,:$ on prendra donc pour la valeur de $u$ en $x$ celle-ci,

$1-{\frac {m}{\mathrm {K} }}.{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}.{\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\mathrm {K} ^{3}}}.{\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.$

La somme de cette série est

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .q\right)dq,$

l’intégrale étant prise depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi .$ Cette valeur de $u$ en $x$ et $m$ satisfait à l’équation différentielle

${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,$