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mée par l’équation

${\begin{aligned}\pi z&=a_{1}e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t\theta _{1}}{\mathrm {R} ^{2}}}}\int \left[\cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {R} }}{\sqrt {\theta _{1}}}\sin .q\right)\,dq\right]\\&+a_{2}e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t\theta _{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}}\int \left[\cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {R} }}{\sqrt {\theta _{2}}}\sin .q\right)\,dq\right]\\&+a_{3}e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t\theta _{3}}{\mathrm {R} ^{2}}}}\int \left[\cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {R} }}{\sqrt {\theta _{3}}}\sin .q\right)\,dq\right]\\&+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

$a_{1},a_{2},a_{3},$ etc., sont des coëfficients arbitraires. $q$ est une variable qui disparaît après les intégrations, parce qu’elles doivent toutes avoir lieu depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi .$

55. Il ne reste plus qu’à déterminer les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc., d’après l’état initial. On reprendra l’équation

$z=a_{1}e^{-m_{1}t}.u_{1}+a_{2}e^{-m_{2}t}.u_{2}+a_{3}e^{-m_{3}t}.u_{3}+$etc.,

dans laquelle $u_{1},u_{2},u_{3},$ etc. sont les différentes valeurs que prend la fonction $u,$ ou

$1-\left[{\frac {m}{\mathrm {K} }}.{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}.{\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\mathrm {K} ^{3}}}.{\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.\right],$

lorsque l’on met successivement au lieu de ${\frac {m}{\mathrm {K} }},$ les valeurs $g_{1},g_{2},g_{3},$ etc. Lorsque l’on fait $t=0,$ on a l’équation

$z=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+$etc.,

dans laquelle $z$ est une fonction donnée de $x.$ Soit $\varphi x$ cette fonction, et représentons la fonction $u_{i},$ dont l’indice est $i,$ par $\psi \left(x{\sqrt {g_{1}}}\right),$ on aura

$\varphi x=a_{1}\psi (x{\sqrt {g_{1}}})+a_{2}\psi (x{\sqrt {g_{2}}})+\ldots +a_{i}\psi (x{\sqrt {g_{i}}})+$etc.