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Pour déterminer le premier coëfficient $a_{1},$ on multipliera chacun des membres de l’équation par $\sigma _{1}dx,$ $\sigma _{1},$ étant une fonction de $x,$ et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {R} .$ On déterminera cette fonction $\sigma _{1},$ en sorte qu’après les intégrations le second membre se réduise au premier terme seulement, où se trouve le coëfficient $a_{1},$ toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coëfficient $a_{2},$ on multipliera pareillement les deux termes de l’équation

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\ldots +a_{i}u_{i}+$etc.,

par un autre facteur $\sigma _{2}dx,$ et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {R} .$ Le facteur $\sigma _{2}$ devra être tel que toutes les intégrales du second membre s’évanouissent, excepté une seule, savoir celle qui est affectée du coëfficient $a_{2}.$ En général on emploie une suite de fonctions de $x,$ $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},$ etc., correspondantes aux fonctions $u_{1},u_{2},u_{3},$ etc. Chacun de ces facteurs $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},$ etc. a la propriété de faire disparaître par l’intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies, excepté un seul. On obtient de cette manière la valeur de chacun des coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc. Il faut donc rechercher quelles sont ces fonctions $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},$ etc., qui jouissent de la propriété dont il s’agit.

Chacun des termes du second membre de l’équation est une intégrale définie de cette forme,

$a\int (\sigma udx)\,;$

$u$ est une fonction de $x$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0\,;$