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En désignant par la température constante de l’extrémité $\mathrm {A} ,$ on prendra les deux équations

$1=a_{1}\cos .n_{1}y+a_{2}\cos .n_{2}y+a_{3}\cos .n_{3}y+\mathrm {etc.}$

et

$1=b_{1}\cos .n_{1}z+b_{2}\cos .n_{2}z+b_{3}\cos .n_{3}z+\mathrm {etc.}$

Il suffit donc de déterminer les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc., dont le nombre est infini, en sorte que le second membre de l’équation précédente soit toujours égal à l’unité. On a résolu précédemment cette question dans le cas où les nombres $n_{1},n_{2},n_{3},$ etc., forment la série des nombres impairs (voyez page 261). Ici les quantités $n_{1},n_{2},n_{3},$ etc. sont des irrationnelles données par une équation d’un degré infini.

Posant l’équation

$1=a_{1}\cos .n_{1}y+a_{2}\cos .n_{2}y+a_{3}\cos .n_{3}y+\ldots a_{i}\cos .n_{i}y+\mathrm {etc.}$

on multipliera les deux membres de l’équation par $\cos .n_{1}y.dy,$ et l’on prendra l’intégrale depuis $y=0$ jusqu’à $y=l.$ On déterminera ainsi le premier coëfficient $a_{1}.$ On suivra un procédé semblable pour déterminer les coëfficients suivants. En général si on multiplie les deux membres de l’équation par $\cos .ry.dy,$ et que l’on intègre, on aura pour le seul terme du second membre, qui serait représenté par $a\cos .ny,$ l’intégrale

$a\int \cos .ny.\cos .rydy,$

ou

${\frac {a}{\nu }}.{\frac {(n+r)\sin .(n-r)l+(n-r)\sin .(n+r)l}{n^{2}-r^{2}}}.$

ou

${\frac {a}{2n^{2}-r^{2}}}\times$

$\left[(n+r)(\sin .nl\cos .rl-\cos .nl\sin .rl)+(n-1)(\sin .nl\cos .rl+\cos .nl\sin .rl\right].$