Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/821

les valeurs de $n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},n_{5},$ etc. sont donc

${\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}.{\frac {1}{\sqrt {l}}},\ \ {\frac {\pi }{\sqrt {l}}},\ \ {\frac {2\pi }{\sqrt {l}}},\ \ {\frac {3\pi }{\sqrt {l}}},\ \ {\frac {4\pi }{\sqrt {l}}},$ etc.

On en conclut, comme on l’a dit plus haut, que si $l$ est une très-petite quantité, la première valeur de $n$ est incomparablement plus grande que toutes les autres, et que l’on doit omettre dans la valeur générale de $v$ tous les termes qui suivent le premier. Si maintenant on substitue dans ce premier terme la valeur trouvée pour $n_{1},$ en remarquant que l’arc $nl,$ ou l’arc $2nl,$ sont égaux à leurs sinus, on aura

$v=\cos .\left({\sqrt {{\frac {h}{\mathrm {K} }}l}}.{\frac {y}{l}}\right)\cos .\left({\sqrt {{\frac {h}{\mathrm {K} }}l}}.{\frac {z}{l}}\right)e^{-{\sqrt {{\frac {2h}{\mathrm {K} }}.{\frac {1}{l}}}}}.$

Le facteur ${\sqrt {{\frac {h}{\mathrm {K} }}l}}$ qui entre sous le signe cosinus étant très-petit, il s’ensuit que la température varie très-peu pour les différents points d’une mème section, lorsque la demi épaisseur $l$ est très-petite. Ce résultat est pour ainsi dire évident de lui-même, mais il est utile de remarquer comment il est expliqué par le calcul. La solution générale se reduit en effet à un terme seul, à raison de la ténuité de la barre, et l’on a en remplaçant par l’unité les cosinus d’arcs extrêmement petits, $v=e^{-x{\sqrt {\frac {2h}{\mathrm {K} l}}}},$ équation qui exprime dans le cas dont il s’agit les températures stationaires. On avait trouvé cette mème équation précédemment (article 7) : on l’obtient ici par une analyse entièrement différente.

60. La solution précédente fait connaître en quoi consiste le mouvement de la chaleur dans l’intérieur du solide.