dans laquelle le second membre est égal au produit de trois facteurs séparés.
On voit par là que la valeur de
est égale au produit de trois fonctions semblables, l’une de
l’autre de
la troisième de
on aurait pu arriver directement à cette conclusion de la manière suivante.
Dans l’équation
on supposera
en denotant par
une fonction de
et
seulement, par
une fonction de
et
par
une fonction de
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {XY} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {XZ} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {YZ} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}}=\mathrm {K} \left[\mathrm {XY} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+\mathrm {XZ} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}}+\mathrm {YZ} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbca38c2383d81de23c85d55de9f58909b12d7fa)
On prendra les trois équations séparées
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}=&\mathrm {K} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}},\\{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}=&\mathrm {K} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}},\\{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}=&\mathrm {K} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dz^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab3b90cb896f7f6a56c5fc947dfd09b3110b24f)
De plus on doit avoir pour la surface ces équations de condition,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}+hv=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcf235ffe4a712d6fa11ae0071532614489ba47)
qui fournissent celles-ci :