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du solide. En effet la valeur de $v$ satisfait à l’équation aux différences partielles et aux conditions relatives à la surface : donc les variations des températures qui résultent dans un instant de l’action des molécules et de l’action de l’air sur la surface, sont celles que l’on trouverait en différentiant la valeur de $v$ par rapport à $t.$ Il s’ensuit que si au commencement d’un instant la fonction $v$ représente le système des températures, elle représentera encore celles qui ont lieu au commencement de l’instant suivant ; et l’on prouve de même que l’état variable du solide sera toujours exprimé par la fonction $v,$ dans laquelle on augmentera successivement la valeur de $t.$ Or cette même fonction convient à l’état initial. Donc elle représentera tous les états ultérieurs du solide. Ainsi on est assuré que toute solution qui donnerait pour $v$ une fonction différente de la précédente serait erronée.

63. Si l’on suppose que la valeur du temps $t$ est devenue très-considérable, on ne devra plus faire usage que du premier terme de la valeur de $v:$ il est donné par l’équation

$v=\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu }}\right)^{3}\cos .n_{1}x.\cos .n_{1}y.\cos .n_{1}z.e^{-3\mathrm {K} n_{1}^{2}t}.$

Voilà donc l’état principal vers lequel le système des températures tend continuellement, et qu’il atteint sans erreur sensible après une certaine valeur de $t.$ Dans cet état la température de chacun des points décroit proportionnellement aux puissances de la fraction $e^{-3\mathrm {K} n_{1}^{2}}.$ Alors les états successifs sont tous semblables, et ne diffèrent que par la quantité des températures, qui diminuent toutes comme les