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équation :

${\frac {1}{2}}\pi \operatorname {F} u=\int dq\sin .qu\int du\operatorname {F} u.\sin .qu.\qquad (e)$

C’est pourquoi en désignant par $\mathrm {Q}$ une fonction de $q$ telle que l’on ait l’équation

$\operatorname {F} u=\int dq\mathrm {Q} \sin .qu,$

$\operatorname {F} u$ étant une fonction donnée, on aura

$\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\int du\operatorname {F} u\sin .qu,$

l’intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Nous avons déjà résolu une question semblable, page 489, art. 66 ; et des deux équations

$\operatorname {\varphi } x=\int dx\mathrm {Q} \cos .qx$

et

$\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\int dx\operatorname {\varphi } x.\cos .qx,$

on aurait pu conclure celle-ci :

${\frac {1}{2}}\pi \operatorname {\varphi } x=\int dq\cos .qx\int dx\operatorname {\varphi } x.qx,\qquad (\varepsilon )$

équation analogue à la précédente. En ajoutant les deux équations $(e)$ et $(\varepsilon ),$ et réduisant, on a en cosinus l’expression de $\operatorname {F} x+\operatorname {\varphi } x,$ qui peut être une fonction quelconque d’une ou de plusieurs variables.

Pour donner une application particulière de l’équation $(e),$ nous supposerons $\operatorname {F} x=x^{r}\,;$ le second membre deviendra par cette substitution

$\int dq\sin .qx\int dx.x^{r}.\sin .qx.$