![{\displaystyle e^{-x}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}e^{-2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992531eb69c6c1750bacf918403d5ee2d5b8c02a)
ou bien à
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}.e^{-\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fe668fd76560507d802d156633c89fa0f0b34c)
On pourrait aussi supposer
égale à la fonction
![{\displaystyle ae^{-nx}.e^{\mathrm {K} n^{2}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db7f4ae9d1030b26d5be8be540735c9458dc4f3)
et
étant deux constantes quelconques ; et l’on trouvera de même que cette fonction équivaut à
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}.ae^{-n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6deb301b994fed0ff8aedd9cc76e12b492d6d98e)
On prendra donc pour valeur générale de
la somme d’une infinité de valeurs semblables, et l’on aura :
![{\displaystyle u=\int dqe^{-q^{2}}\left[a_{1}e^{-n_{1}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}+a_{2}e^{-n_{2}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}+a_{3}e^{-n_{3}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}+{\text{etc}}.\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90233564c71ff4b8a00a247b79c8031535d7e09f)
Les constantes
etc. et
etc. étant indéterminées, la série est l’expression d’une fonction quelconque de
on a donc
![{\displaystyle u=\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d14c6d3cedbf4b6155512a809786deeb561fee)
L’intégrale doit être prise de
à
Cette valeur de
satisfait nécessairement à l’équation
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e041ca273389ae22c288ecf3ad3f84209cc2c1c)
on en conclut
![{\displaystyle z=e^{-ht}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f3edcf27296bc16ddb650c4907020ab348d647)