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et

$v=be^{-x{\sqrt {\frac {hl}{\mathrm {KS} }}}}+e^{-ht}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).$

Lorsque $t=0,$ la valeur de $z$ est

$\operatorname {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {hl}{\mathrm {KS} }}}}\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {\textit {f}} x.$

Donc

$\operatorname {\textit {f}} x=\int dqe^{-q^{2}}\varphi x,\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {\varphi } x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {\textit {f}} x.$

Ainsi la fonction arbitraire $\operatorname {\varphi }$ qui entre dans l’intégrale est déterminée au moyen de la fonction donnée $\operatorname {\textit {f}} \,;$ et l’on a l’équation suivante, qui contient la solution de la question proposée,

$v=be^{-x{\sqrt {\frac {hl}{\mathrm {KS} }}}}+{\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\textit {f}} \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),$

résultat qu’il est facile de représenter par une construction.

74. Nous appliquerons la solution précédente au cas où tous les points de la ligne $\mathrm {AB}$ ayant la température initiale $0,$ on échauffe l’extrémité $\mathrm {A}$ pour la retenir continuellement à la température $1.$ Il en résulte que $\operatorname {F} x$ a une valeur nulle lorsque $x$ diffère de $0\,;$ ainsi $\operatorname {\textit {f}} x$ équivaut à

$-e^{-x{\sqrt {\frac {hl}{\mathrm {KS} }}}}$

toutes les fois que $x$ diffère de $0,$ et à $0$ lorsque $x$ est nulle. D’un autre côté, il est nécessaire qu’en faisant $x$ négatif, la valeur de $\operatorname {\textit {f}} x$ change de signe, en sorte que l’on a

$\operatorname {\textit {f}} (-x)=-\operatorname {\textit {f}} x.$