et
![{\displaystyle \operatorname {\psi } (-\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}+\operatorname {\varphi } (\mathrm {R} )\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c19db27d078d465bf9cf0a09aa41c9bfd689a6)
donc
![{\displaystyle \operatorname {\psi } (-\mathrm {R} )-\operatorname {\psi } (\mathrm {R} )=2\operatorname {\varphi } (\mathrm {R} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53aa2285c76781a8c3f4f617e8a84703612acfa7)
et
![{\displaystyle v=1-2\varphi \left\{{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744e03f7e35657f87cf8444314bc48505fbb74e4)
et en développant l’intégrale
on a
![{\displaystyle \operatorname {\varphi } (\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {\left[R-{\frac {1}{1}}.{\frac {1}{3}}R^{3}+{\frac {1}{1.2}}.{\frac {1}{5}}R^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}.{\frac {1}{7}}R^{7}+etc.\right]} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5e6e36ff20e0f6dbd07abc64e3bac4c167b70f)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}v{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}&+{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\left\{{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right\}^{3}\\&+{\frac {1}{1.2}}{\frac {1}{5}}\left\{{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right\}^{5}+{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5771531a29b7aa5028efabab54975c14d3c103)
1o Si l’on suppose
nulle, quelle que soit d’ailleurs la valeur de
on trouvera
ce qui est conforme à l’hypothèse : 2o si
n’étant point nulle, on suppose
la somme des termes qui contiennent
représente l’intégrale
prise de
à
et par conséquent équivaut à
Donc
est nulle, ce qui a lieu en effet dans l’état initial.
3o Différends points du solide placés à des profondeurs différentes
etc. parviennent à une même température après des temps différents
etc., qui sont proportionnels aux quarrés des longueurs
etc.,