de la diffusion de la chaleur, qui dépend aussi de l’intégration de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc78ac9673116e064ff395b24f32e277195ecaa3)
On représentera par
la température initiale d’un point de la ligne, placé à la distance
de l’origine ; et l’on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps
Faisant
on aura
![{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2ec94dbd43cc1ea722cb7ec336f4dd7aec79e4)
et par conséquent
![{\displaystyle z=\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } (x+2q{\sqrt {\mathrm {K} }}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bca8183dc708dc49f0fae1623d06224e9a2e3b)
Lorsque
on doit avoir
![{\displaystyle v=\operatorname {\textit {f}} x=\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09691000b600161f497565b6625c6d8f601f7e0)
ou
![{\displaystyle \operatorname {\varphi } x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {\textit {f}} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9579e12944197e37d6254d5fb4dd5cee1350fc2)
donc
![{\displaystyle v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\textit {f}} \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} }}t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9470945f3a28a5d14a8d56d1b0c8bcbaef2f2da)
77. Pour appliquer cette expression générale au cas où une partie de la ligne, depuis
jusqu’à
est uniformément échauffée, tout le reste du solide étant à la température
il faut considérer que le facteur
qui multiplie
a, selon l’hypothèse, une valeur constante
lorsque la quantité qui est sous le signe de la fonction est comprise entre
et
et que toutes les autres valeurs de