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ce facteur sont nulles ; donc l’intégrale $\int dqe^{-q^{2}}$ doit être prise depuis $x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}=-\alpha$ jusqu’à $x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}=\alpha .$ ou de

$q={\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad q={\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}.$

En désignant comme ci-dessus par ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\psi (\mathrm {R} )$ l’intégrale

$\int dre^{-r^{2}}$

prise de $r=\mathrm {R}$ à $r={\frac {1}{0}},$ on aura

$v=e^{-ht}\left[\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\right].$

78. Nous appliquerons encore l’équation générale

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\textit {f}} \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)$

au cas où la barre infinie, échauffée par un foyer d’une intensité constante $1,$ est parvenue à des températures fixes, et se refroidit ensuite librement dans un milieu entretenu à la température $0.$ Pour cela il suffit de remarquer que la fonction initiale, désignée par $\operatorname {\textit {f}} (r),$ équivaut à

$e^{-r{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}},$

tant que la variable $r,$ qui est sous le signe de fonction, surpasse l’unité ; et que cette même fonction équivaut à

$e^{+r{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}$