Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/872

lorsque la variable qui est affectée du signe $\operatorname {\textit {f}} x$ est au-dessous de $0.$ Donc

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\left(\int dqe^{-q^{2}}.e^{-x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}.e^{-2q{\sqrt {ht}}}+\int dqe^{-q^{2}}.e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}.e^{2q{\sqrt {ht}}}\right).$

La première intégrale doit être prise depuis

$x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}=0\quad {\text{jusqu’à}}\quad x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}={\frac {1}{0}},$

et la seconde depuis

$x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}=0\quad {\text{jusqu’à}}\quad x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}=-{\frac {1}{0}}.$

La première partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}.e^{-x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-\left(q^{2}+2q{\sqrt {ht}}\right)}$

ou

${\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-\left(q+{\sqrt {ht}}\right)^{2}}$

ou

${\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dre^{-r^{2}}.$

en faisant $r=q+{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise de

$q={\frac {-x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad q={\frac {1}{0}},$

ou de

$r={\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad r={\frac {1}{0}}.$