La seconde partie de la valeur de
est
![{\displaystyle {\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}.e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\int dqe^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {ht}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d948b57a4653d97e9c482422b1908f13467423)
ou
![{\displaystyle e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\int dqe^{-\left(q-{\sqrt {ht}}\right)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0199bf13e876c630e092f304487ab8657ed3eeaf)
ou
![{\displaystyle e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\int dre^{-r^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6656b557933340c05ca2764856917635b34a1e3)
en faisant
L’intégrale doit être prise de
![{\displaystyle q={\frac {-x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad q=-{\frac {1}{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613df17d8ecf95a073c1d633d7a0636eecf8e8cb)
ou de
![{\displaystyle r=-{\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad r=-{\frac {1}{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b963cb482d48a799e42d9fa9991c4d3cb7243e)
ou de
![{\displaystyle r={\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad r={\frac {1}{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfae1c4e0afcb8611c5120029ae78e2cd186f5f8)
On en conclut l’expression suivante :
![{\displaystyle v=e^{-x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\psi \left({\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)+e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\psi \left({\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e841a420691b99eae44185ea972d51c9e6262dd6)
On a obtenu (page 517, art. 77) l’équation
![{\displaystyle v=e^{-ht}\left[\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12732644cead7b014fd88454823a0b4dbba5fcc8)
pour exprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données
et
On avait précé-