demment résolu la même question par une analyse différente, et l’on était parvenu, en supposant
à l’équation
![{\displaystyle v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx.\sin .q.e^{-q^{2}Kt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68cbb6d7827bc623f105959fd1c9f9e834f33b90)
(voy. page 490, art. 67). Pour comparer ces deux résultats on supposera dans l’un et dans l’autre
Désignant encore par
l’intégrale
prise de
à
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=e^{-ht}\left[\psi \left({\frac {-\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)-\psi \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\right]=e^{-ht}2\operatorname {\varphi } \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\\&={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {\mathrm {P} }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}-{\frac {1}{1}}.{\frac {1}{3}}\left({\frac {\mathrm {Q} }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.2}}.{\frac {1}{5}}\left({\frac {\mathrm {R} }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{5}-{\text{etc}}.\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196214abf739be2cab0f5c11695fc1e38cb9fbaa)
D’un autre côté on doit avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&={\frac {2e^{-ht}}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.e^{-q^{2}\mathrm {K} t}\\&={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dq\,e^{-q^{2}\mathrm {K} t}\left(1-{\frac {q^{2}}{2.3}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {q^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567053eeccc7aeab23363b21f3cb1d952655236e)
Or l’intégrale
prise de
à
a une valeur connue :
étant un nombre entier positif on a en général
![{\displaystyle \int due^{-u^{2}}u^{2m}={\frac {3.5\ldots (m-1)}{2^{m+1}}}{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}.{\frac {3}{2}}.{\frac {5}{2}}.{\frac {7}{2}}\ldots {\frac {2m-1}{2}}.{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b495d86ecc1f5535fe7e860c333fd3502e7fc61)
L’équation précédente donne donc, en faisant ![{\displaystyle q^{2}\mathrm {K} t=n^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e2b2efdab2fe1faa0df78657cffadd965ca960)