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${\begin{aligned}v&={\frac {2e^{-ht}}{\pi {\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\int du\,e^{-u^{2}}\left(1-{\frac {u^{2}}{2.3}}.{\frac {1}{\mathrm {K} t}}+{\frac {u^{4}}{2.3.4.5}}.{\frac {1}{\mathrm {K} ^{2}t^{2}}}-{\frac {u^{6}}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {1}{\mathrm {K} ^{3}t^{3}}}+{\text{etc}}.\right)\\&={\frac {2e^{-ht}}{\pi {\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\left[{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {1}{2.3}}.{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {K} t}}\right)+{\frac {1}{2.3.4.5}}.{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {1.3}{2.2}}\left({\frac {1}{\mathrm {K} t}}\right)^{2}\right.\end{aligned}}$

$\left.-{\frac {1}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {1.3.5}{2.2.2}}\left({\frac {1}{\mathrm {K} t}}\right)^{4}\right]$

ou

$v={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}-{\frac {1}{1}}.{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.2}}.{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{5}\right.$

$\left.-{\frac {1}{1.2.3}}.{\frac {1}{7}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{7}+{\text{etc}}.\right]$

Cette équation est la même que la précédente lorsqu’on suppose $\alpha =1.$ On voit par là que ces intégrales, que obtenues par deux analyses très-différentes, conduisent aux mêmes séries convergentes. On parvient aussi à deux résultats identiques dans le cas général, quelle que soit la valeur de $x.$

79. On pourrait dans cette question, comme dans les précédentes, comparer les quantités de chaleur qui dans un instant donné traversent différentes sections du prisme échauffe, et l’expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d’intégration. Mais, sans s’arrêter à ces remarques, on terminera cet article par la comparaison des différentes formes que l’on a données à l’intégrale de l’équation qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.

Pour satisfaire à l’équation ${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$ on peut supposer $u=e^{-x}.e^{\mathrm {K} t},$ et en général $u=e^{-nx}.e^{n^{2}\mathrm {K} t}.$ On en déduit