soit divisible par
mais
est le produit de
par le polynôme
; et si on fait
dans ce polynôme
ou
, il se réduit à
; donc, comme
ne peut être divisible par
, puisque
et
sont premiers entre eux, le polynôme, sera divisible par
simplement et non par une puissance plus élevée de
. Donc
sera divisible par
.
En général, si
était divisible par
,
le serait par
, et
simplement par
.
7. Il résulte de ce qui précède que, si on fait
, les deux facteurs
et
auront
pour commun diviseur ou n’en auront aucun, selon que
sera ou ne sera pas divisible par
.
La fonction
dont nous ferons beaucoup d’usage, est remarquable par plusieurs
propriétés. Comme les nombres
et
doivent être en général ou tous deux impairs, ou l’un pair et l’autre impair,
la fonction
, dont le nombre des termes est
, sera toujours un nombre impair. De plus, ce nombre sera positif ; car la fonction
est de degré pair, et elle a tous ses facteurs imaginaires. On sait d’ailleurs que
étant, comme nous le supposons, un nombre premier, la fonction
peut toujours se mettre sous la forme
, savoir
, si
est de la forme
, et
, si
est de la forme
. (Voyez Th. des N. no 476.)
Maintenant, si on peut satisfaire à l’équation
,
voici les conséquences qui résultent de cette supposition.
8. Considérons d’abord le cas où l’un des trois nombres
,
,
, serait divisible par
, et soit
ce nombre ; alors en