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faisant $y^{n}+z^{n}=(y+z)\varphi (y,z)$, le produit des deux facteurs $y+z$ et $\varphi (y,z)$ sera égal à la puissance $(-x)^{n}$ ; et comme ces deux facteurs ne peuvent avoir que $n$ pour commun diviseur, il faudra que $n(y+z)$, et ${\tfrac {1}{n}}\varphi (y,z)$ soient l’un et l’autre des puissances $n$^ièmes dont le produit sera égal à $(-x)^{n}$ ; c’est pourquoi nous ferons en général $y+z={\tfrac {1}{n}}a^{n}$, $a$ désignant un nombre divisible par $n$ ou par une puissance de $n$, et $\varphi (y,z)=n\alpha ^{n}$, ce qui suppose $x=-a\alpha$, et de plus $\alpha$ premier à $na$.

On a également $z^{n}+x^{n}=(z+x)\varphi (z,x)=(-y)^{n}$ ; mais dans ce cas $y$ n’étant pas divisible par $n$, il faudra que $z+x$ et $\varphi (z,x)$ soient l’un et l’autre des puissances $n^{\text{iemes}}$ ; on fera donc $z+x=b^{n}$, et $\varphi (z,x)=\beta ^{n}$, ce qui suppose $y=-b\beta$.

Pareillement de l’équation $x^{n}+y^{n}=(x+y)\varphi (x,y)=-z^{n}$, on déduira $x+y=c^{n}$, $\varphi (x,y)=-\gamma ^{n}$, ce qui suppose $z=-c\gamma$.

On aura donc à la fois les neuf équations :

${\begin{alignedat}{3}y+z=&{\tfrac {1}{n}}a^{n},\qquad &\varphi (y,z)=&n\alpha ^{n},\qquad &x=&-a\alpha ,\\z+x=&b^{n},&\varphi (z,x)=&\beta ^{n},&y=&-b\beta ,\\x+y=&c^{n},&\varphi (x,y)=&\gamma ^{n},&z=&-c\gamma .\end{alignedat}}$

Appelons comme ci-dessus $p$ la somme $x+y+z$, nous aurons

$2p={\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}+c^{n}$,

et les valeurs de $x$, $y$, $z$, seront exprimées en fonctions de $a$, $b$, $c$, comme il suit :

$x=p-{\tfrac {1}{n}}a^{n}={\frac {1}{2}}\left(b^{n}+c^{n}-{\tfrac {1}{n}}a\right)$,