![{\displaystyle y=p-b^{n}={\frac {1}{2}}\left(c^{n}+{\tfrac {1}{n}}a^{n}-b^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4584799069040aac4eee350cc1330bf0da45e2ed)
,
![{\displaystyle z=p-c^{n}={\frac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}-c^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc7024fb1052097b83039472e69375530cef414)
.
9. Il existe aussi une relation entre
,
,
, laquelle se déduira
de l’équation
, combinée avec l’équation
![{\displaystyle 0=\left(p-{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}+\left(p-b^{n}\right)^{n}+\left(p-c^{n}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cd26cb03a9704899a26f9b353101f0f079845d)
.
On sait d’ailleurs que
est divisible par
, ou par
; on peut donc supposer
, ce qui donnera
![{\displaystyle 2abc\mathrm {D} ={\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}+c^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc8b39a250ef3a21b51a35acb17434462e38d46)
.
Et par le développement de l’équation précédente, on obtiendra dans chaque cas particulier une autre équation entre
,
,
,
. Dans le cas de
, on a simplement
.
10. Nous remarquerons encore que tout diviseur premier
de l’un des facteurs
,
,
, doit être de la forme
.
Car les nombres
sont diviseurs d’un nombre de la forme
sans l’être de
; soit
, il faudra que
soit diviseur de
sans l’être de
; d’où il suit que
est de la forme
. (Th. des N., art. 157.)
Cette propriété est commune aux trois facteurs impairs
,
,
; mais le premier
, qui entre dans la composition de
l’indéterminée
déjà divisible par
, a de plus la propriété
que tous ses facteurs premiers sont de la forme
.
11. En effet, soit
un des facteurs premiers de
; on déduira des équations précédentes, en omettant les