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multiples de $\theta$, $\alpha =0$, $x=0$, $y=c^{n}$, $z=b^{n}$, $\varphi (y,z)=0$. Soit $\rho$ une racine, autre que $-1$, de l’équation $\rho ^{n}+1=0$ ; puisqu’on a $y^{n}+z^{n}=(y+z)\varphi (y,z)$, l’équation $\varphi (y,z)=0$, aura pour l’une de ses racines $y=\rho z$ ; donc $c^{n}=\rho b^{n}$, donc $\rho$ doit être un résidu $n$^ième de $\theta$ ; représentons ces résidus par la suite $\pm (1,\mu ,\mu ^{2}\ldots \mu ^{k-1})$, où $\mu$ doit satisfaire à la condition $\mu ^{k}+1=0$ (sans qu’on puisse avoir $\mu ^{h}+1=0$, $h$ étant un diviseur de $k$), on pourra faire $\rho =\mu ^{i}$, et l’équation $\rho ^{n}+1=0$ deviendra $\mu ^{in}+1=0$.

Plusieurs valeurs de $i$ peuvent satisfaire à cette équation ; car si $h$ est la moindre de ces valeurs, on pourra faire $i=h$, $3h$, $5h$, etc., c’est-à-dire $i$ égal à un multiple impair de $h$, et alors la valeur $\rho =\mu ^{i}$, renfermera les valeurs $\rho =\mu ^{h}$, $\rho =\mu ^{3h}$, $\rho =\mu ^{5h}$, etc., lesquelles satisferont également à l’équation $\rho ^{n}+1=0$.

Cela posé, l’équation $\mu ^{hn}+1=0$ dans laquelle l’exposant de $\mu$ est le moindre possible, devra coïncider avec l’équation $\mu ^{k}+1=0$, où $k$ est assujetti à la même condition, de sorte qu’on aura $k=hn$, et par conséquent $\theta =2hn^{2}+1$. Donc tous les diviseurs premiers de $\alpha$ sont de la forme $2hn^{2}+1$ ; ce qui établit une différence notable entre ces diviseurs et ceux des deux autres nombres $\beta$ et $\gamma$, lesquels sont simplement de la forme $2kn+1$.

12. Nous avons supposé dans l’article 8, que l’un des nombres $x$, $y$, $z$, est divisible par $n$ ; il reste maintenant à considérer le cas où aucun de ces nombres ne serait divisible par $n$. Alors le seul changement à faire dans les neuf équations de l’art. 8, serait de mettre $a^{n}$ à la place de ${\tfrac {1}{n}}a^{n}$, et $\alpha ^{n}$ à la place de $n\alpha ^{n}$. Mais on verra que ce cas ne peut jamais avoir lieu.