13. Au moyen de la forme générale que nous venons de
donner aux valeurs de
on peut démontrer que si une
de ces indéterminées est divisible par
elle le sera nécessairement
par
et qu’il en sera de même de la quantité
En effet, nous avons appelé
dans l’art. 8 l’indéterminée
qui est divisible par
or, d’après l’équation
où
et
sont divisibles par
il faut que
soit divisible par
D’un autre côté,
et
étant
toujours divisibles par
leur somme
est divisible
par
donc
est aussi divisible. Soit
on aura
![{\displaystyle b^{n}=(-c+n\mathrm {A} )^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1442da32bbe3b9c395e3d41624c6944cec1f130a)
et
![{\displaystyle b^{n}+c^{n}=nc^{n-1}.n\mathrm {A} -{\frac {n.n-1}{1}}c^{n-1}.n^{2}\mathrm {A} ^{2}+\ {\text{etc.}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f8491248a48233f48f97c64cf9cd31d8681f95)
d’où l’on voit que
est toujours divisible par
mais
la partie
est aussi divisible par
dans le cas de
et par une puissance plus élevée de
lorsque
est
Donc
sera toujours divisible par
donc
ou
sera divisible par
Il est donc démontré en général que si l’une des inconnues
est divisible par
elle le sera nécessairement
par
et qu’il en est de même de la somme
14. Nous nous proposons maintenant de démontrer que
l’une des inconnues
est nécessairement divisible
par
Ayant déjà fait
soit encore
de manière que les indéterminées