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RECHERCHES

soient les racines de l’équation $\mathrm {V} ^{3}-p\mathrm {V} ^{2}+q\mathrm {V} -r=0\ ;$ si on appelle en général $\mathrm {V} _{m}$ la somme des puissances de degré $m$ des racines, savoir $\mathrm {V} _{m}=x^{m}+y^{m}+z^{m},$ on aura d’après les formules connues :

$\mathrm {V} _{1}=p,$

$\mathrm {V} _{2}=p^{2}-2q,$

$\mathrm {V} _{3}=p^{3}+3(r-pq),$

et en général

$\mathrm {V} _{m}=p^{m}-mqp^{m-2}+mrp^{m-3}+{\frac {m.m-3}{2}}q^{2}p^{m-4}-{\frac {m.m-4}{2}}.2qrp^{m-5}$

$+{\frac {m.m-5}{2}}r^{2}p^{m-6}-{\frac {m.m-4.m-5}{2.3}}q^{3}p^{m-6}$

$+{\frac {m.m-5.m-6}{2.3}}.3q^{2}rp^{m-7}-{\frac {m.m-6.m-7}{2.3}}.3qr^{2}p^{m-8}$

$+{\frac {m.m-7.m-8}{2.3}}r^{3}p^{m-9}\ +\ {\text{etc.}}$

cette suite devant être prolongée jusqu’aux puissances négatives de $p$ exclusivement.

15. Soit $n=3,$ on aura $\mathrm {S} _{3}=0,$ ce qui donne

$p^{3}=3(pq-r)=3(x+y)(y+z)(z+x)\ ;$

donc $p$ est divisible par $3,$ et en outre un des facteurs $x+y,$ $y+z,$ $z+x$ est divisible par $9.$ Soit ce facteur $y+z,$ alors $p-(y+z)$ ou $x$ sera divisible par $3\ ;$ on peut de plus conclure, suivant l’art. 13, que $x$ devra être divisible par $9,$ ainsi que $p.$

16. Soit $n=5,$ on aura $\mathrm {S} _{5}=0$ ce qui donne $p^{5}=5(pq-r)(p^{2}-q)$ ou

$p^{5}=5(x+y)(y+z)(z+x)\left({\frac {p^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}\right).$