Si aucun des nombres
n’est divisible par
il faudra que le facteur
ou simplement sa
partie
soit divisible. Mais tout nombre non divisible
par
est représenté par
ou par
et
son carré l’est par
or trois nombres étant de la
forme
leur somme ne peut être que de l’une des
quatre formes
il est donc impossible que
soit divisible par
si aucun des nombres
n’est divisible. Donc dans le cas de
il y a nécessairement
une des indéterminées divisible par
elle l’est donc
en même temps par
ainsi que la somme
17. Ces deux premiers cas peuvent être démontrés d’une
manière beaucoup plus simple ; comme il suit.
1o. Un cube quelconque non divisible par
est nécessairement
de l’une des deux formes
Or trois des restes
ne peuvent faire ni la somme zéro, ni la somme
donc
si l’on peut satisfaire à l’équation
un des trois
nombres
sera nécessairement divisible par
2o. La cinquième puissance de tout nombre non divisible
par
est nécessairement de l’une des quatre formes
ce que l’on peut vérifier sur les cinquièmes puissances des
nombres
lesquelles divisées par
ont les mêmes
restes que donneraient les cinquièmes puissances des nombres
Or trois des quatre restes
ne peuvent faire ni la somme
ni la somme
Donc si l’équation
est satisfaite, il faudra que
l’un des nombres
soit divisible par
Le même moyen ne réussit pas pour le cas de
car
on trouve
Ainsi trois nombres non
divisibles par
tels que
ou plus