Si aucun des nombres n’est divisible par
il faudra que le facteur ou simplement sa
partie soit divisible. Mais tout nombre non divisible
par est représenté par ou par et
son carré l’est par or trois nombres étant de la
forme leur somme ne peut être que de l’une des
quatre formes il est donc impossible que
soit divisible par si aucun des nombres
n’est divisible. Donc dans le cas de il y a nécessairement
une des indéterminées divisible par elle l’est donc
en même temps par ainsi que la somme
17. Ces deux premiers cas peuvent être démontrés d’une
manière beaucoup plus simple ; comme il suit.
1o. Un cube quelconque non divisible par est nécessairement
de l’une des deux formes Or trois des restes
ne peuvent faire ni la somme zéro, ni la somme donc
si l’on peut satisfaire à l’équation un des trois
nombres sera nécessairement divisible par
2o. La cinquième puissance de tout nombre non divisible
par est nécessairement de l’une des quatre formes
ce que l’on peut vérifier sur les cinquièmes puissances des
nombres lesquelles divisées par ont les mêmes
restes que donneraient les cinquièmes puissances des nombres
Or trois des quatre restes
ne peuvent faire ni la somme ni la somme
Donc si l’équation est satisfaite, il faudra que
l’un des nombres soit divisible par
Le même moyen ne réussit pas pour le cas de car
on trouve Ainsi trois nombres non
divisibles par tels que ou plus