généralement
donneraient la somme divisible par Mais voici
deux autres cas qui réussissent, ce sont ceux de et
En effet, 1o. la puissance ème de tout nombre non divisible
par est toujours de l’une de ces formes Or dans les cinq nombres il
n’y en a pas deux qui se suivent immédiatement ou dont la
différence soit l’unité. Donc trois de ces nombres ne peuvent
faire ni la somme ni la somme Donc l’équation étant supposée possible, un des nombres
sera divisible par
2o. La puissance ème de tout nombre non divisible par
est de l’une des 16 formes or parmi ces restes on n’en trouve pas deux qui
se suivent à une unité de différence ; donc dans l’équation un des nombres sera divisible
par
18. Le principe dont nous venons de faire usage se démontre
ainsi :
Supposons qu’on ait et soit un nombre
premier non diviseur de puisque et sont premiers
entre eux, on peut supposer et en
faisant la substitution on verra que est divisible
par ou qu’en supprimant les multiples de on a
donc parmi les restes des puissances ème divisées
par il y en aura toujours un, provenant de ou
de qui sera plus grand d’une unité que le reste provenant
de Si cette condition ne se trouve pas remplie