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le cas de $\theta =8n+1\ ;$ c’est ce qu’il faut examiner. D’abord la valeur de $\mu$ devra être déterminée par l’équation $\mu ^{4}+1=0$ qui peut être résolue sans tâtonnement de la manière suivante.

Le premier membre peut se mettre sous la forme $(\mu ^{2}-1)^{2}+2\mu ^{2},$ et comme $\theta$ nombre premier $8n+1$ doit être de la forme $a^{2}+2b^{2},$ on pourra faire $\mu ^{2}-1=2\mu c,$ en prenant pour $c$ la plus petite valeur de $y$ qui satisfait à l’équation $a-2by=\theta x$

Pour résoudre ensuite l’équation $\mu ^{2}-2\mu c-1=0,$ ou $(\mu -c)^{2}-(c^{2}+1)=0,$ on multipliera le premier membre par $4b^{2},$ et observant que $4b^{2}(c^{2}+1)=a^{2}+4b^{2}=2b^{2},$ on aura $4b^{2}(\mu -c)^{2}-2b^{2}=0,$ ou $2(\mu -c)^{2}-1=0.$ Mais le nombre $\theta$ de forme $8n+1,$ peut être représenté par $2\alpha ^{3}-\beta ^{2}\ ;$ donc $\mu$ sera déterminé par la condition que $\beta (\mu -c)\pm \alpha$ a soit divisible par $\theta .$

Cela posé, les huit valeurs de $r$ seront $r=\pm (1,\mu ,\mu ^{2},\mu ^{3})$ Maintenant l’équation $r'=r+1$ si elle pouvait avoir lieu, serait représentée par l’une des trois équations suivantes :

$\mu ^{2}=\mu \pm 1,\qquad \mu ^{3}=\mu ^{2}\pm 1,\qquad \mu ^{3}=\pm \mu +1\ ;$

et comme on a $\mu ^{4}=-1,$ la seconde mise sous la forme $\mu ^{3}=\mu ^{2}\pm \mu ^{4},$ et la troisième multipliée par $\mu$ se réduisent à la première. Ainsi tout se réduit à prouver qu’on ne peut avoir $\mu ^{2}=\mu \pm 1$ ou $\mu ^{2}\mp 1=\mu .$ En effet si on élève chaque membre au carré, on aura $\mp 2\mu =\mu ^{2}$ équation impossible. Si on admettait encore la combinaison $\mu ^{4}=\pm \mu ^{2}+1,$ il en résulterait $2=\pm \mu ^{2}$ et ensuite $4=\mu ^{4}=-1,$ équation impossible. Donc lorsqu’on aura $\theta =8n+1,$ l’équation $r'=r+1$ sera impossible, et la première condition sera remplie.

Il reste à prouver que la seconde le sera également, c’est-