à-dire que
ne sera pas comprise parmi les valeurs de
Si
elle l’était on aurait
d’un autre côté on a
ou simplement
et par conséquent
donc
ou
ce qui veut dire que
ne pourra
être qu’un diviseur de
or
n’a pour diviseur
aucun nombre premier de la forme
et
en a
deux, savoir
et
mais ceux-ci supposent
et
l’un n’étant pas premier, l’autre n’étant pas impair.
Donc nos deux conditions seront remplies sans aucune exception,
toutes les fois qu’on aura
27. Soit encore
on pourra toujours trouver
une valeur de
telle qu’en omettant les multiples de
on
ait
et les
valeurs du résidu
seront ainsi représentées
Maintenant si l’équation
entre deux résidus pouvait avoir lieu, elle se réduirait toujours
à l’une des six équations
![{\displaystyle \mu ^{2}=\mu \pm 1,\quad \mu ^{3}=\pm \mu +1,\quad \mu ^{4}=\mu \pm 1,\quad \mu ^{4}=\pm \mu ^{2}\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cded4481d5537e19ec1da901d3fe955a723cc88)
![{\displaystyle \mu ^{5}=\pm \mu +1,\quad \mu ^{5}=\mu ^{2}\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205ec1f6034e6285efa28059c73a3dbeb25f7b21)
Or de la première on déduit
ou
et le carré de celle-ci est
ou
équation impossible.
La seconde équation donne
![{\displaystyle \mu ^{2}(\mu ^{2}\mp 1)^{2}=1\qquad {\text{ou}}\qquad \mu ^{4}\mp 2\mu ^{2}+1={\frac {1}{\mu ^{2}}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2f5c2bfabf036f93cbdc414bfb16d63e9e1cee)
donc
![{\displaystyle -\mu ^{4}+1=\pm 2\mu ^{2}+{\frac {1}{\mu ^{2}}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d722acbce8e1420b4dfed44a48ea68f18681bd)
le carré de celle-ci est
![{\displaystyle 2\mu ^{4}=4\mu ^{4}\pm 4{\frac {1}{\mu ^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85ee181b96077e3484a6a6eb164f84f65dfb556)