Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/211

23

D’ANALYSE INDÉTERMINÉE.

dus. Cette dernière circonstance permet de démontrer que les trois nombres $11,\ 71,\ 101$ divisent la même indéterminée $x$ déjà divisible par $5^{2}$ et de plus que cette propriété n’appartient qu’au plus petit $a$ des deux facteurs ${\displaystyle }$ dont la valeur de $a,\ \alpha ,$ est composée. Voici les moyens de parvenir à cette démonstration, d’où l’on déduira quelques conséquences importantes pour les autres cas du théorème de Fermat.

30. Reprenons pour cet effet les équations de l’art. 8, savoir

${\begin{alignedat}{3}y+z=&{\frac {1}{n}}a^{n},\qquad &x=&-a\alpha ={\frac {1}{2}}\left(b^{n}+c^{n}-{\frac {1}{n}}a^{n}\right),\qquad &\varphi (x,z)=&n\alpha ^{n},\\z+x=&b^{n},&y=&-b{\text{ϐ}}={\frac {1}{2}}\left(c^{n}+{\frac {1}{n}}a^{n}-b^{n}\right),&\varphi (x,z)=&{\text{ϐ}}^{n},\\x+y=&c^{n},&z=&-c\gamma ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}a^{n}+b^{n}-c^{n}\right),&\varphi (x,z)=&\gamma ^{n},\end{alignedat}}$

et supposons que le nombre $\theta$ de la forme $2kn+1$ réunit les deux conditions exigées dans l’art. 21. On peut prouver en général que $\theta$ n’est point diviseur de $b\ ;$ car supposons, s’il est possible, que $\theta$ divise $b,$ il divisera en même temps $y$ et, en supprimant les multiples de $b$ on aura $b=0$ et $y=0.$ De là on déduit $z=$ donc ${\frac {1}{n}}a^{n}+c^{n}=0.$ De là on déduit $z={\frac {1}{n}}a^{n},$ $x=c^{n},$ $z+x=0,$ donc ${\frac {1}{n}}a^{n}+c^{n}=0.$ Représentons par $\mu ^{i}$ et $\mu ^{i}$ les résidus des puissances $a^{n}$ et $c^{n}$ divisées par $\theta ,$ nous aurons $\mu ^{i}+n\mu ^{e}=0,$ ou $n=-\mu ^{i-e}\ ;$ donc $n$ serait un des résidus $r$ compris dans la suite $\pm (1,\mu ,\mu ^{2}\dots \mu ^{k-1},$ ce qui est contre la supposition. On prouvera de même que $\theta$ ne divise point $c\ ;$ donc $\theta$ ne divise point $bc.$

31. En second lieu, supposons que $\theta$ divise l’un des nom-