36. Considérons maintenant le cas des septièmes puissances ; si on cherche d’après l’art. 26 les nombres premiers contenus dans les formules
où
on trouvera les trois nombres
qui doivent satisfaire aux deux conditions exigées no. 21 ; voici les résidus septièmes de ces trois nombres :
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l}\theta &{\text{Résidus septièmes}}.\\\hline 29&\pm (1,12),\\71&\pm (1,5,14,17,25)\\113&\pm (1,15,18,35,40,42,44,48),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b67c504a41545da92753ffaea2e8b161b1372b)
où l’on voit qu’en effet les résidus ne satisfont point à l’équation
et ne contiennent pas le nombre
Cela posé, on pourra démontrer que deux de ces nombres savoir
et
ne peuvent diviser que le facteur
dans les formules de l’art. 8.
En effet, soit 1o.
ce qui donne
comme dans ce cas les résidus 7ièmes sont
on voit que l’équation
n’est pas satisfaite ; car en ajoutant
à ces résidus, on aurait les quatre nombres
dont aucun n’est compris parmi les résidus. Donc suivant l’art. 31, il faut que
soit diviseur de
Soit 2o.
on aura
et l’équation
où l’on néglige les multiples de
aura pour racine
De là résultent les valeurs de
et
comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} \ =&-13,24,-17,15,16,-35,\\\mathrm {B} '=&-23,14,-27,\ \ 5,\ \ 6,\;\;26,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce906cc9f082e2374a5bf37807938e0379a30a62)