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Dans l’équation du 13^ème degré on trouvera immédiatement $y+z={\frac {1}{13}}\left(13^{2}.53a'\right)^{13},$ ce qui donne au moins $52$ chiffres à l’un des nombres $y$ et $z,$ et $676$ à l’une des puissances 13^èmes qui forment l’équation.

      Dans l’équation du 17^ème degré on aura

$y+z={\frac {1}{17}}(17^{2}.137a')^{17},$ $\log .(y+z)=77.929074+17\log .a'\,;$ donc l’une des indéterminées aurait au moins $78$ chiffres.

Ces exemples suffisent pour donner une idée de la grandeur des nombres qui satisferaient à l’équation de Fermat, s’il y avait des cas où cette équation fût possible ce qui est déjà fort peu probable. Procédons maintenant à la démonstration de l’impossibilité dans le cas du 5^e degré.

De l’Équation $x^{5}+y^{5}+z^{5}=0.$

38. Puisque, l’une des indéterminées doit être divisible par $5,$ et même par $25\,;$ soit $x$ cette indéterminée on trouvera comme au n^o 8, que l’équation $y^{5}+z^{5}=-x^{5}$ se partage nécessairement en deux autres de cette manière :

$y+z=5^{4}t^{4},$

$y^{4}-y^{3}z+y^{2}z^{2}-yz^{3}+z^{4}=5r^{5},$

ce qui suppose $x=-5tr,$ $r$ étant un nombre impair, positif et premier à $5t.$

Cela posé, il y a deux cas à distinguer selon que $x$ sera pair ou impair.

Premier cas, où l’on suppose $x$ pair.

39. Alors $t$ est pair, $y$ et $z$ sont impairs et la seconde des équations $(a)$ pourra se mettre sous la forme