Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/220

32

RECHERCHES

$5\left({\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {y^{2}+2yz+z^{2}}{2}}\right)^{2}=5r^{5}.$

Divisant par $5$ et mettant au lieu de $y^{2}+2yz+z^{2}$ sa valeur $5^{8}t^{10},$ on aura

$\left({\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}-5\left({\frac {5^{7}t^{10}}{2}}\right)^{2}=r^{5}.$

Dans notre hypothèse, les nombres ${\frac {1}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right)$ et ${\frac {1}{2}}.5^{7}t^{10}$ sont des entiers ; d’ailleurs puisque le premier membre est de la forme $p^{2}-5q^{2},$ son diviseur $r$ devra être de la même forme, de sorte qu’on pourra supposer $r=f^{2}-5g^{2},$ puis faisant $\left(f+g{\sqrt {5}}\right)^{5}=\mathrm {F+G} {\sqrt {5}},$ ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {F} =&f\left(f^{4}+50f^{2}g^{2}+125g^{4}\right),\\\mathrm {G} =&5g\left(f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}\right),\end{aligned}}$

on aura $r^{5}=\mathrm {F^{2}-5G^{2}} ,$ et par conséquent

$\left({\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}-5\left({\frac {5^{7}t^{10}}{2}}\right)^{2}=\mathrm {F^{2}-5G^{2}} .$

Pour avoir une solution générale de cette équation, il faut prendre deux nombres $m$ et n, tels qu’on ait $\left(9\pm 4{\sqrt {5}}\right)^{k}=m+n{\sqrt {5}},$ $k$ étant un entier quelconque, ces nombres satisferont en général à l’équation $m^{2}-5n^{2}=1,$ et on pourra supposer

${\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}+{\frac {5^{7}t^{10}}{2}}{\sqrt {5}}=\left(\mathrm {F+G} {\sqrt {5}}\right)\left(m+n{\sqrt {5}}\right),$

ce qui donnera

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right)=&m\mathrm {F} +5n\mathrm {G} ,\\{\frac {1}{2}}.5^{7}t^{10}=&m\mathrm {G} +n\mathrm {F} .\end{aligned}}$