![{\displaystyle 5\left({\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {y^{2}+2yz+z^{2}}{2}}\right)^{2}=5r^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8442dff87a4f67f753bf2bc244f30c316796594b)
Divisant par
et mettant au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle \left({\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}-5\left({\frac {5^{7}t^{10}}{2}}\right)^{2}=r^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8c5fc5555f69f94fcd65b06b47dfaeeb087286)
Dans notre hypothèse, les nombres
et
sont des entiers ; d’ailleurs puisque le premier membre est de la forme
son diviseur
devra être de la même forme, de sorte qu’on pourra supposer
puis faisant
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} =&f\left(f^{4}+50f^{2}g^{2}+125g^{4}\right),\\\mathrm {G} =&5g\left(f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f523de5f7913e3a306e29448b372bb75ec0bdd)
on aura
et par conséquent
![{\displaystyle \left({\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}-5\left({\frac {5^{7}t^{10}}{2}}\right)^{2}=\mathrm {F^{2}-5G^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523ad3037fb4a370875ba96690609d6e2023aede)
Pour avoir une solution générale de cette équation, il faut prendre deux nombres
et n, tels qu’on ait
étant un entier quelconque, ces nombres satisferont en général à l’équation
et on pourra supposer
![{\displaystyle {\frac {y^{2}+z^{2}}{2}}+{\frac {5^{7}t^{10}}{2}}{\sqrt {5}}=\left(\mathrm {F+G} {\sqrt {5}}\right)\left(m+n{\sqrt {5}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8c1948640da29bc26353556ae3d2b25a666bc)
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right)=&m\mathrm {F} +5n\mathrm {G} ,\\{\frac {1}{2}}.5^{7}t^{10}=&m\mathrm {G} +n\mathrm {F} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e834abc46a0ffc52b31b2e953f98fab675e40f1e)