eux, la seule manière de satisfaire à cette équation est de la partager en deux autres, comme il suit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&h=5^{6}u^{10},\\&h^{4}-6h^{3}g+16h^{2}g^{2}-16hg^{3}+16g^{4}=r^{'10},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09e7f1c0ac9c11ed8a00cfc3c9469a7424a0749)
ce qui suppose
étant premier à ![{\displaystyle 5u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078c85e2f61ec6d0f6cd9b42e10852767de9b5a3)
La seconde équation peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle r^{'10}=\left(h^{2}-3gh+6g^{2}\right)^{2}-5\left(gh-2g^{2}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef0822eae16fb1ef8b90245dbd2eb5aa30807c4)
d’où l’on voit que
doit être de la forme
il en est de même de
on pourra donc faire
ce qui donnera
et on satisfera généralement à l’équation précédente en faisant
![{\displaystyle h^{2}-3gh+6g^{2}=m\mathrm {F} '+5n\mathrm {G} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72685e3557dd9b71c46a0ebbf77a698f68dbace7)
![{\displaystyle gh-2g^{2}=n\mathrm {F} '+m\mathrm {G} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7c5da425f72a8d6bcc8c08fd3a15befc598d0f)
ce qui donne enfin
ou
![{\displaystyle 5^{12}u^{20}=(m+3n)\mathrm {F} '+(3m+5n)\mathrm {G} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead54f4812a6d814a97040f2f9deec97aacb7b44)
Puisque
est divisible par
et que
ne l’est pas, cette équation ne peut subsister à moins que
ne soit divisible par
Les seules valeurs de
et
à prendre pour cela, sont
ce qui donnera, en divisant par ![{\displaystyle 5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b13068804ccdd036a5e780d3848bf98ed516a4d)
![{\displaystyle 5^{11}u^{20}={\frac {123}{5}}\mathrm {G} '-11\mathrm {F} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e26ced7e627d162c9e1edf8d7c4ad48c100a6d8)
ou en substituant les valeurs de
et ![{\displaystyle \mathrm {G} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea0ea68b0bccc057010d8a922a8a79967cfdabe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}5^{11}u^{20}=f^{'4}(123g'-11f')&+10f^{'2}g^{'2}(123g'-55f')\\&+5g^{'4}(123g'-275f').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b705925978cbcf5b3b21136543e6e8163c909c66)
46. Cette équation fait voir que
est divisible par