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$5\,;$ soit donc $f'=3g'-h',$ on aura

$\mathrm {F'+G'} {\sqrt {5}}=\left[-h'+g'\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]^{5},$

ou en faisant le développement :

${\begin{aligned}\mathrm {F'+G'} {\sqrt {5}}&=-h^{'5}+5h^{'4}g'\left(3+{\sqrt {5}}\right)-20h^{'3}g^{'2}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)\\&+80h^{'2}g^{'3}\left(9+4{\sqrt {5}}\right)-40h'g^{'4}\left(47+21{\sqrt {5}}\right)\\&+16g^{'5}\left(123+55{\sqrt {5}}\right).\end{aligned}}$

Multipliant tout par $-11$ et mettant au lieu de $11{\sqrt {5}}$ la valeur fictive $-{\frac {123}{5}},$ on aura ${\frac {123}{5}}\mathrm {G} '-11\mathrm {F} ',$ ou

$5^{11}u^{20}=h'\left(11h^{'4}-42h^{'3}g'+64h^{'2}g^{'2}-48h'g^{'3}+16^{'4}\right).$

Maintenant $h'$ étant divisible par $5$ et $g'$ ne l’étant pas, cette équation ne peut se partager en deux autres que de cette manière

$h'=5^{11}u^{'20}$

$11h^{'4}-42h^{'3}g'+64h^{'2}g^{'2}-48h'g^{'3}+16^{'4}=r^{''20},$

ce qui suppose $u=u'r''$ et $r''$ premier à $5u'.$

Cette dernière équation peut être mise sous la forme

$4r^{''20}=\left(8g^{'2}-12g'h'+7h^{'2}\right)^{2}-5h^{'4},$

d’où il suit que $r''$ doit être de la forme $p^{2}-5q^{2}\,;$ il en est de même de $r^{''4},$ on peut donc faire $r^{''4}=f^{''2}-5g^{''2},$ ce qui donnera $r^{''20}=\mathrm {F^{''2}-5G^{''2}} .$ Soit, maintenant $4=\mu ^{2}-5\nu ^{2},$ $\mu$ et $\nu$ étant des nombres impairs, on pourra supposer

$8g^{'2}-12g'h'+7h^{'2}+h^{'2}+h^{'2}{\sqrt {5}}=\mathrm {\left(F''+G''{\sqrt {5}}\right)} \left(\mu +\nu {\sqrt {5}}\right),$

ce qui donnera

$h^{'2}=\mu \mathrm {G} ''+\nu \mathrm {F} ''.$