Mais puisque 
et 
sont divisibles par 
et que 
ne l’est pas, cette équation ne peut subsister à moins que 
ne soit divisible par 
Et comme on a en général 
ce qui donne 
on ne pourra admettre que les valeurs 
d’où résultent 
de sorte qu’on aura 
ou
47. Nous retombons ainsi sur une équation semblable à l’équation déjà considérée 
d’où il suit que les mêmes transformations pourront être continuées à l’infini, ce qui supposerait infinies les valeurs primitives des indéterminées.
Car ayant fait successivement 
etc., on aura 
etc., de sorte que le nombre des facteurs 
augmente continuellement dans l’expression de 
Ces facteurs sont déterminés par des équations qu’on peut réduire à la même forme, savoir 
etc., d’ailleurs on a 
etc., de sorte que la suite 
etc., est rapidement croissante, même en supposant que les nombres 
etc., aient l’unité pour limite. Donc les nombres 
etc., toujours plus grands que 
ne pourront être moindres que 
ce qui rendra infinie la valeur de Donc l’équation 
n’admet aucune solution en nombres entiers.
48. Il est maintenant démontré que l’équation 
ne peut avoir lieu toutes les fois que 
qui est supposé impair, sera un multiple de 
ou de Quant aux autres cas du théorème de Fermat, ils ne semblent pas
