je dis que
devra être divisible par
En effet supposons, s’il est possible, que
ne soit pas divisible par
le premier membre
est le produit de deux facteurs
et
qui ne peuvent avoir que trois pour commun diviseur (art. 7) ; et puisque
ne divise pas le second membre
il s’ensuit que ces deux facteurs sont premiers entre eux. Leur produit doit être un cube, il faut donc que chacun d’eux soit un cube ; si l’on observe d’ailleurs que
est toujours un nombre impair, on en conclura que
doit être facteur de
ainsi on devra faire
![{\displaystyle x+y=2^{3m}\alpha ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e3dae1ebe1db480a3e6043bac00d053f34bd93)
![{\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9f56514fb17dfaa9b08149a2e7b3bcec89d2b4)
ϐ
![{\displaystyle ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb8f12f0a8611465f4aeb347d3ff94f6eaff49b)
ce qui suppose
ϐ, ϐ étant positif et premier à ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Maintenant si l’on met la seconde équation sous cette forme
ϐ
![{\displaystyle ^{3}=\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adc8947be5c85972bb7e780054caba81a9dbf41)
on voit que le second membre étant de la forme
son diviseur ϐ, qui est un nombre impair, devra être de la même forme. Faisant donc ϐ
ensuite
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=f\left(f^{2}-9g^{2}\right)\\\mathrm {G} &=3g\left(f^{2}-g^{2}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08537a79e3d5a0044d2a4e72c61a340f676e60f)
on aura ϐ
de sorte qu’on satisfera généralement à l’équation précédente en faisant
![{\displaystyle {\frac {x+y}{2}}=\mathrm {F} ,\qquad {\frac {x-y}{2}}=\mathrm {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90d52a08ae722366664efc97672d713df07cbac)