ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f^{3}+3f^{2}g-9fg^{2}-3g^{3}\\y&=f^{3}-3f^{2}g-9fg^{2}+3g^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7af4ff4755b3182a2c04ca84c64d108fd542da)
Or
étant supposé non-divisible par
il faudra que l’un des nombres
soit divisible, ce qui exige que
soit aussi divisible par
Mais alors les deux nombres
et
seraient divisibles par
ainsi que le troisième
ce qui est contre la supposition.
Donc l’indéterminée
divisible par
doit l’être aussi par
et on doit faire en général
étant premier au nombre
de sorte que l’équation proposée sera toujours de la forme
III
e.
L’équation
est impossible.
Car supposons pour un moment qu’elle puisse être satisfaite, sans que l’une des indéterminées soit zéro, les deux facteurs du premier membre, savoir
et
ont pour commun diviseur
et non une puissance plus élevée de
comme il a été démontré art. 6 ; d’ailleurs le second facteur est impair ; ainsi l’équation dont il s’agit se partagera nécessairement en deux autres comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=2^{3m}3^{3n-1}\alpha ^{3}\\&x^{2}-xy+y^{2}=3{\text{ϐ}}^{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cec48b3c3f44a713d36142d64c29af0aa5dc510)
et on aura en même temps
ϐ.
La seconde de ces équations peut être mise sous la forme :
ϐ
![{\displaystyle ^{3}=\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x+y}{6}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d5920c3852cdf39c0d5d46a5a42d8a8378988e)
d’où il suit que ϐ est encore de la forme
Faisant