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ce qui donnera

${\begin{aligned}x&=f^{3}+3f^{2}g-9fg^{2}-3g^{3}\\y&=f^{3}-3f^{2}g-9fg^{2}+3g^{3}.\end{aligned}}$

Or $z$ étant supposé non-divisible par $3,$ il faudra que l’un des nombres $x,y,$ soit divisible, ce qui exige que $f$ soit aussi divisible par $3.$ Mais alors les deux nombres $x$ et $y$ seraient divisibles par $3,$ ainsi que le troisième $z,$ ce qui est contre la supposition.

Donc l’indéterminée $z$ divisible par $2$ doit l’être aussi par $3,$ et on doit faire en général $z=-2^{m}3^{n}u,$ $u$ étant premier au nombre $6\,;$ de sorte que l’équation proposée sera toujours de la forme $x^{3}+y^{3}=2^{3m}3^{3n}u^{3}.$

III^e. L’équation $\mathrm {x^{3}+y^{3}} =2^{3m}3^{3n}u^{3}$ est impossible.

Car supposons pour un moment qu’elle puisse être satisfaite, sans que l’une des indéterminées soit zéro, les deux facteurs du premier membre, savoir $x-y$ et $x^{2}-xy+y^{2},$ ont pour commun diviseur $3$ et non une puissance plus élevée de $3,$ comme il a été démontré art. 6 ; d’ailleurs le second facteur est impair ; ainsi l’équation dont il s’agit se partagera nécessairement en deux autres comme il suit :

${\begin{aligned}&x+y=2^{3m}3^{3n-1}\alpha ^{3}\\&x^{2}-xy+y^{2}=3{\text{ϐ}}^{3},\end{aligned}}$

et on aura en même temps $u=\alpha$ϐ.

La seconde de ces équations peut être mise sous la forme :

ϐ$^{3}=\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x+y}{6}}\right)^{2},$

d’où il suit que ϐ est encore de la forme $p^{2}+3q^{2}.$ Faisant