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$p.c^{\frac {-i^{3}t^{2}}{2r.{\overline {i-r}}.(i-2r)^{2}}}.$

Il est facile de s’assurer que cette même Valeur a lieu à très-peu-près pour le terme placé avant $p$ à la même distance. La somme de tous ces termes sera la série entière $(a').$ On aura, comme on sait, cette somme à très-peu-près égale à

$p.\int dt.c^{\frac {-i^{3}t^{2}}{2r.{\overline {i-r}}.(i-2r)^{2}}}$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty \,;$ ce qui donne, par les méthodes connues, la série $(a')$ égale à

$p.{\sqrt {\pi }}.\left({\frac {i-2r}{i}}\right).{\sqrt {\frac {2r.{\overline {i-r}}}{i}}}.$

$\pi$ étant la circonférence dont le diamètre est l’unité. On a

$p={\frac {1.2.3\ldots i.(i-2r)^{i-2}}{1.2.3\ldots {\overline {i-r}}.1.2.3\ldots r}}.$

La série $(a)$ devient ainsi, abstraction faite du signe,

${\frac {i.(i-2r)^{i-2}.{\sqrt {\pi }}}{1.2.3\ldots {\overline {i-r}}.1.2.3\ldots r}}.{\frac {\overline {i-2r}}{i}}.{\sqrt {\frac {2r.{\overline {i-r}}}{i}}}.{\frac {e^{i}}{2^{i-1}}}.$

On a à très-peu près, par les théorèmes connus,

${\begin{aligned}&123\ldots {\overline {i-r}}=(i-r)^{i-r}+{\frac {1}{2}}.c^{-(i-r)}.{\sqrt {2\pi }}\,;\\&123\ldots r=r^{r}+{\frac {1}{2}}.c^{-r}.{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$

La série $(a)$ devient donc

${\frac {{\cfrac {2}{\sqrt {i}}}.(i-2r)^{i-1}.\left({\cfrac {ec}{2}}\right)^{i}}{ir^{r}.(i-r)^{i-r}.{\sqrt {2\pi }}}}$