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Chacune d’elles développée en série, donne une série convergente car, par la supposition, $qe$ est moindre que l’unité. On voit donc que le terme

${\frac {4\mathrm {A} .(1-2\omega ).q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}.(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}$

donne un série convergente. Pareillement le terme

${\frac {2.(1-2\omega )^{2}q^{2i}e^{2i}}{\pi .(1-qe)^{2}\left(1-e^{2}\right)}}$

donne une série convergente ; comme il est facile de le voir, en décomposant la fraction

${\frac {1}{(1-qe)^{2}.\left(1-e^{2}\right)}}$

en fractions partielles ; ${\frac {dv}{dt}}$ développé en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité, donne par conséquent une série convergente, lorsque $qe$ est moindre que l’unité. Il est facile d’en conclure que l’expression de $(v-t)$ ainsi développée forme une série convergente ; car l’intégration de $dv,$ faisant acquérir des diviseurs à ses termes, on voit que, quel que soit $t,$ $v-t$ sera moindre que

${\frac {\left[\mathrm {A} +{\cfrac {2.(1-2\omega ).q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}.(1-qe)}}\right]^{2}}{1-e^{2}}}$

qui, comme on vient de le voir, forme une série convergente.

Il résulte de ce qui précède, que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vecteur et l’anomalie vraie, développés suivant les puissances