l’équation
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86a7673b9ecd765c0a57b33deac0c394e877ba8)
donne
![{\displaystyle {\frac {ddv}{dt^{2}}}=-{\frac {2.{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mathrm {R} ^{3}}}.{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac5de7aad7dddb4991f09554eb6986a0d10eda4)
Au périhélie et à l’aphélie,
est nul :
est positif, en allant du premier de ces points au second, et négatif, du second au premier. Soit
sa plus grande valeur positive ;
sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de
soient positives et égales à l’unité, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à
depuis l’aphélie jusqu’au périhélie ; on voit que l’intégrale
prise depuis la périhélie jusqu’à l’aphélie, sera moindre, abstraction faite du signe, que
De là il suit que
abstraction faite du signe, est moindre que
![{\displaystyle {\frac {4\pi .k.{\sqrt {1-e^{2}}}}{i^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bc9cbc35f15adc813137b0cef21ab1400a4fa5)
Ce terme devient nul, lorsque
est infini. De plus, la série de l’expression précédente de
à partir de
supposé très-grand, est moindre que
![{\displaystyle {\frac {4\pi .k.{\sqrt {1-e^{2}}}}{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e97b08f7eb02e77ef69bfe1ec09f47a85c27a7)
quantité qui devient nulle, lorsque
est infini. Cette série est donc convergente.
Considérons de la même manière l’expression de
développée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de
et de ses multiples. Soit