ainsi
![{\displaystyle \cos .\theta ={\frac {dr}{ds}},\qquad \cos .\theta '=-{\frac {dr}{ds'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bcc04332ec1cc665750b7ba3a28f11a4361097)
Pour avoir la valeur de
nous observerons que
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}},\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}},\quad {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}},\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}},\quad {\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}},\quad {\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14be24aaa760e74f487d5626d4e30c36fd04390)
sont les cosinus des angles que
et
forment avec les trois axes, et nous en conclurons
![{\displaystyle \cos .\varepsilon ={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98031a9ee4daba19f8290a32f3381d9afd360335)
Or, en différentiant par rapport à
l’équation précédente qui donne
on trouve
![{\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}=-\cos .\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacfe7e64f1fdbc4beb0f8d26c92fb03e0ba0587)
Si l’on substitue, dans la formule qui représente l’action mutuelle des deux éléments
au lieu de
les valeurs que nous venons d’obtenir, cette formule deviendra, en remplaçant
par son égal ![{\displaystyle k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e185ab9c990830d5055fa3ae698a4225ce67e0)
![{\displaystyle -{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{n}}}\left(r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+k{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cba66149650038b4c0b8b03f21597cc57910881)
qu’on peut mettre sous la forme
![{\displaystyle -{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{n}}}.{\frac {1}{r^{k-1}}}.{\frac {\mathrm {d} \left(r^{k}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}\right)}{\mathrm {d} s'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe310925800a647bbd93ab5cfe082dd5f882bbe)
ou enfin
![{\displaystyle ii'r^{1-n-k}{\frac {\mathrm {d} \left(r^{k}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}\right)}{\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f96888272f1909b9963f82a9eecb888fa50817)