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deux extrémités de la portion de conducteur $\mathrm {L'L''}$ que que l’on considère comme mobile, sur le conducteur rectiligne dont il s’agit de calculer l’action parallèlement à sa direction, on aura

$r''={\frac {a''}{\sin .\beta ''}},\qquad r'={\frac {a'}{\sin .\beta '}},$

$\mathrm {d} s'=-{\frac {\mathrm {d} r''}{\cos .\beta ''}}={\frac {a''\mathrm {d} \beta ''}{\sin .^{2}\beta ''}}=-{\frac {\mathrm {d} r'}{\cos .\beta '}}={\frac {a'\mathrm {d} \beta '}{\sin .^{2}\beta '}},$

et par conséquent

${\frac {\mathrm {d} s'}{r''}}={\frac {\mathrm {d} \beta ''}{\sin .\beta ''}},\qquad {\frac {\mathrm {d} s'}{r'}}={\frac {\mathrm {d} \beta '}{\sin .\beta '}},$

d’où il est aisé de conclure que l’intégrale cherchée est

$-{\frac {1}{2}}ii'\int \left({\frac {\cos .^{2}\beta ''\mathrm {d} \beta ''}{\sin .\beta ''}}-{\frac {\cos .^{2}\beta '\mathrm {d} \beta '}{\sin .\beta '}}\right)$

$=-{\frac {1}{2}}ii'\left(\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta '}}+\cos .\beta ''-\cos .\beta '+\mathrm {C} \right).$

Il faudra prendre cette intégrale entre les limites déterminées par les deux extrémités du conducteur rectiligne ; en nommant $\beta '_{1},\beta '_{2},$ et $\beta ''_{1},\beta ''_{2}$ les valeurs de $\beta '$ et de $\beta ''$ relatives à ces limites, on a sur-le-champ celle de la force exercée par le conducteur rectiligne, et cette dernière valeur ne dépend évidemment que des quatre angles $\beta '_{1},\beta ''_{1},\beta '_{2},\beta ''_{2}.$

Lorsqu’on veut la valeur de cette force pour le cas où le conducteur rectiligne s’étend indéfiniment dans les deux sens, il faut faire $\beta '_{1}=\beta ''_{1}=0,$ et $\beta '_{2}=\beta ''_{2}=\pi \,:$ il semble, au premier coup d’oeil, qu’elle devient nulle, ce qui serait contraire à l’expérience ; mais on voit aisément que la partic de Fintégrale où entrent les cosinus de ces quatre angles est la