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en $\mathrm {M'}$ sera donc

${\frac {1}{4}}ii'\mathrm {d} s'\left({\frac {\sin .^{2}\theta }{\cos .\theta }}-{\frac {\cos .^{2}\theta }{\sin .\theta }}\right).$

Lorsqu’on prend un point quelconque $\mathrm {A}$ de la circonférence pour origine des arcs, et qu’on fait $\mathrm {AL'=C} ,$ on a

$s'=\mathrm {C} +2a\theta \quad {\text{et}}\quad \mathrm {d} s'=2a\mathrm {d} \theta ,$

ce qui change l’expression précédente en

${\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {\sin .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\cos .\theta }}-{\frac {\cos .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\sin .\theta }}\right),$

qu’il faut intégrer dans toute l’étendue de l’arc $\mathrm {L_{1}L_{2}} ,$ pour avoir le moment de rotation de cet arc autour de son centre.

Or on a

${\begin{aligned}\int {\frac {\sin .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\cos .\theta }}=&\operatorname {l} \operatorname {tang} .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\theta \right)-\sin .\theta +\mathrm {C} _{1},\\\int {\frac {\cos .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\sin .\theta }}=&\operatorname {l} \operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\theta +\cos .\theta +\mathrm {C} '_{1}\,;\end{aligned}}$

si donc on appelle $2\theta _{1}$ et $2\theta _{2}$ les angles $\mathrm {L'OL_{1}}$ et $\mathrm {L'OL_{2}}$ le moment total de l’arc $\mathrm {L_{1}L_{2}}$ sera

${\frac {a}{2}}ii'\left\{\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\theta _{2}\right)\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\theta _{1}}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\theta _{2}\operatorname {tang} .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\theta _{1}\right)}}-\sin .\theta _{2}-\cos .\theta _{2}+\sin .\theta _{1}+\cos .\theta _{1}\right\}$

Cette expression, changée de signe, donne la valeur du moment de rotation du diamètre $\mathrm {L'L''}$ dû à l’action de l’arc $\mathrm {L_{1}L_{2}} .$

Dans un appareil que j’ai décrit précédemment, un conducteur qui a la forme d’un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composé d’un diamètre et d’une demi-circonférence qui est mobile autour d’un axe passant par le