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plan. Car $q$ n’étant autre chose que ${\frac {ss'}{r}},$ et $r$ devenant $\mathrm {MP} ,$ on a

$q\sin .\varepsilon ={\frac {ss'sin.\varepsilon }{r}}=\mathrm {{\frac {MP.AQ}{MP}}=AQ} \,;$

et nous avions trouvé par l’autre procédé,

${\frac {1}{2}}ii'(p-r\cot .\varepsilon )\,;$

$p$ désignant la perpendiculaire $\mathrm {AQ} \,:$ les deux résultats sont donc identiques. L’intégration faite entre les limites donne

${\frac {1}{2}}ii'\left[p_{2}''-p_{1}''-p_{2}'+p_{1}'+\cot .\varepsilon (r''_{1}+r_{2}'-r_{2}''-r_{1}')\right]\,;$

si l’angle est droit, ce moment se réduit à

${\frac {1}{2}}ii'(p''_{2}-p''_{1}-p'_{2}+p'_{1}).$

Lorsque $\varepsilon ={\frac {\pi }{2}},$ mais que $a$ n’est pas nul, le moment ci-dessus devient

${\frac {1}{2}}ii''\left(q-a^{2}\iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}\right).$

L’intégrale qu’il s’agit de calculer dans ce cas est

$\int \mathrm {d} s'\int {\frac {\mathrm {d} s}{r^{3}}}=\int \mathrm {d} s'\int {\frac {\mathrm {d} s}{\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=\int {\frac {s}{\left(a^{2}+s'^{2}\right){\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}+}}}}\mathrm {d} s',$

qu’il faut intégrer de nouveau par rapport à $s'\,;$ il vient

${\begin{aligned}\int {\frac {s\mathrm {d} s'}{\left(a^{2}+s'^{2}\right){\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}+}}}}&=\int {\frac {\left(a^{2}+s^{2}\right)s\mathrm {d} s'}{\left(a^{4}+a^{2}s'^{2}+a^{2}s^{2}+s^{2}s'^{2}\right){\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}}}}}=\\\int {\frac {s\left(a^{2}+s^{2}\right){\cfrac {\mathrm {d} s'}{\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}}}}}{a^{2}\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}\right)+s^{2}s'^{2}}}&=\int {\frac {\cfrac {s\left(a^{2}+s^{2}\right)\mathrm {d} s'}{\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{a^{2}+{\cfrac {s^{2}s'^{2}}{a^{2}+s^{2}+a's^{2}}}}}=\int {\frac {{\cfrac {dq}{\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s'}{a^{2}+q^{2}}}\\&={\frac {1}{a}}\operatorname {arc.tang} .{\frac {q}{a}}+\mathrm {C} .\end{aligned}}$