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des puissances paires de $\alpha '$ et $\beta '$, termes qui se trouveront multipliés par 4. Ainsi, effectuant la multiplication indiquée, tout se réduit à intégrer la quantité

${\frac {4.\mathrm {F} (\rho )}{\rho ^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&\alpha '^{2}\left\{{\begin{array}{l}\left(u\sin .^{2}r-v\sin .r\cos .r\right)\delta u\\\left(-u\sin .r\cos .r+v\cos .^{2}r\right)\delta v\end{array}}\right\}\\&\beta '^{2}\left\{{\begin{array}{l}\left(u\cos .^{2}r\sin .^{2}s+v\sin .r\cos .r\sin .^{2}s+w\cos .r\sin .s\cos .s\right)\delta u\\\left(u\sin .r\cos .r\sin .^{2}s+v\sin ^{2}.r\sin .^{2}s+w\sin .r\sin .s\cos .s\right)\delta v\\\left(u\cos .r\sin .s\cos .s+v\sin .r\sin .s\cos .s+w\cos .^{2}s\right)\delta w\end{array}}\right\}\\&\gamma '^{2}\left\{{\begin{array}{l}\left(u\cos .^{2}r\cos .^{2}s+v\sin .r\cos .r\cos .^{2}s-w\cos .r\sin .s\cos .s\right)\delta u\\\left(u\sin .r\cos .r\cos .^{2}s+v\sin .^{2}r\cos .^{2}s-w\sin .r\sin .s\cos .s\right)\delta v\\\left(-u\cos .r\sin .s\cos .s-v\sin .r\sin .s\cos .s+w\sin .^{2}s\right)\delta w\end{array}}\right\}\end{aligned}}\right\}$

dans l’étendue du huitième de sphère où $\alpha ',\beta ',$ et $\gamma '$ ont des valeurs positives.

Pour y parvenir nous substituerons, comme ci-dessus, les coordonnées polaires $\rho ,\psi$ et $\varphi$ aux coordonnées rectangulaires, en posant

${\begin{aligned}&\alpha '=\rho \cos .\psi \cos .\varphi ,\\&\beta '=\rho \cos .\psi \sin .\varphi ,\\&\gamma '=\rho \sin .\psi .\end{aligned}}$

Mettant donc ces valeurs dans l’expression précédente, et multipliant par l’élément de volume $d\rho d\psi d\varphi .\rho ^{2}\cos .\psi$, nous aurons à prendre d’abord les trois intégrales

${\begin{aligned}&\iint d\psi d\varphi .\cos .^{3}\psi \cos .^{2}\varphi ,\ \iint d\psi d\varphi .\cos .^{3}\psi \sin .^{2}\varphi ,\\&\iint d\psi d\varphi .\sin .^{2}\psi \cos .\psi ,\end{aligned}}$