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$\scriptstyle {\begin{aligned}&0=\iiint dxdydz\left\{{\begin{array}{l}\left[\mathrm {P} -{\frac {dp}{dx}}-\rho \left({\frac {du}{dt}}+u{\frac {du}{dt}}+v{\frac {du}{dy}}+w{\frac {du}{dz}}\right)\right]\delta u\\\left[\mathrm {Q} -{\frac {dp}{dy}}-\rho \left({\frac {dv}{dt}}+u{\frac {dv}{dt}}+v{\frac {dv}{dy}}+w{\frac {dv}{dz}}\right)\right]\delta v\\\left[\mathrm {R} -{\frac {dp}{dz}}-\rho \left({\frac {dw}{dt}}+u{\frac {dw}{dt}}+v{\frac {dw}{dy}}+w{\frac {dw}{dz}}\right)\right]\delta w\end{array}}\right\}\\&-\varepsilon \iiint dxdydz\left\{{\begin{array}{l}3{\frac {du}{dx}}{\frac {\delta du}{dx}}+{\frac {du}{dy}}{\frac {\delta du}{dy}}+{\frac {du}{dz}}{\frac {\delta du}{dz}}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta du}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta du}{dx}}+{\frac {dw}{dx}}{\frac {\delta du}{dz}}\\{\frac {du}{dx}}{\frac {\delta dv}{dy}}+{\frac {du}{dy}}{\frac {\delta dv}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta dv}{dx}}+3{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta dv}{dy}}+{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}}{\frac {\delta dv}{dz}}+{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta dv}{dy}}\\{\frac {du}{dx}}{\frac {\delta dw}{dz}}+{\frac {du}{dz}}{\frac {\delta dw}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta dw}{dz}}+{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta dw}{dy}}+{\frac {dw}{dx}}{\frac {\delta dw}{dx}}+{\frac {dw}{dy}}{\frac {\delta dw}{dy}}+3{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta dw}{dz}}\end{array}}\right\}\\&+\mathrm {S} ds^{2}.\mathrm {E} \left(u\delta u+v\delta v+w\delta w\right).\end{aligned}}$

Le signe $\mathrm {S}$ désigne une intégration effectuée dans toute l’étendue de la surface du fluide, en faisant varier la quantité $\mathrm {E}$ suivant la nature des corps avec lesquels cette surface est en contact. Il est inutile de tenir compte des termes relatifs à l’équilibre des points de cette surface, puisque, pourvu que l’on ait $p=0$ dans les points appartenant à la partie où la surface est libre, ces termes disparaissent.

En passant dans le second terme de l’équation précédente le $d$ devant le $\delta$, et effectuant les intégrations par parties, ce terme se changera en

$\varepsilon \iiint dxdydz\left\{{\begin{array}{l}\left(3{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+2{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+2{\frac {d^{2}w}{dxdz}}\right)\delta u\\\left(2{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+3{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2{\frac {d^{2}w}{dydz}}\right)\delta v\\\left(2{\frac {d^{2}u}{dxdz}}+2{\frac {d^{2}v}{dydz}}+{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}+3{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\right)\delta w\end{array}}\right\}$